Rozwiązanie

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym kąt prosty jest przy wierzchołku $A$ (bo $BC$ jest przeciwprostokątną), $AB = 6$, a $CD$ jest środkową do boku $AB$, czyli $D$ jest środkiem $AB$, więc $AD = 3$. Długość środkowej $CD = 5$.

1. Krok 1 – Wyznaczenie długości $AC$

   Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACD$ (prostokątnym przy $A$, bo kąt $\angle CAB = 90°$):

   $$CD^2 = AC^2 + AD^2$$ $$25 = AC^2 + 9$$ $$AC^2 = 16 \implies AC = 4$$
2. Krok 2 – Wyznaczenie $\tan\alpha$

   Kąt $\alpha = \angle ADC$ leży w trójkącie $ACD$, prostokątnym przy wierzchołku $A$. Przyprostokątne tego trójkąta to $AD = 3$ i $AC = 4$, a przeciwprostokątna to $CD = 5$.

   Tangens kąta $\alpha$ to stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta $\alpha$ do przyprostokątnej przyległej do kąta $\alpha$:

   $$\tan\alpha = \frac{AC}{AD} = \frac{4}{3}$$
3. Krok 3 – Weryfikacja

   Sprawdzamy, czy trójkąt $ACD$ jest rzeczywiście prostokątny: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓ — jest to trójkąt o bokach $3, 4, 5$.

4. Krok 4 – Analiza odpowiedzi
   • Odpowiedź A) $\dfrac{2}{3}$ – błędna. Wartość $\frac{2}{3}$ nie odpowiada żadnemu naturalnemu stosunkowi boków w tym trójkącie.
   • Odpowiedź B) $\dfrac{3}{4}$ – błędna. Byłaby to wartość $\tan\beta$ (kąt $\angle ABC$ w trójkącie $ABC$: $\tan\beta = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$), albo wynik pomylenia przyprostokątnych — odwrócenia stosunku $\frac{AD}{AC} = \frac{3}{4}$.
   • Odpowiedź C) $\dfrac{4}{5}$ – błędna. Jest to wartość $\sin\alpha = \frac{AC}{CD} = \frac{4}{5}$, nie tangens.
   • Odpowiedź D) $\dfrac{4}{3}$ – poprawna. Wynika bezpośrednio z $\tan\alpha = \dfrac{AC}{AD} = \dfrac{4}{3}$.

Wynik końcowy:

$$\tan\alpha = \frac{4}{3}$$

Poprawna odpowiedź: D)