Zadanie 14.1 Matura z matematyki 2025 — podstawowy, arkusz dla klas dwujęzycznych

Rozwiązanie:

1. Krok 1 – Wyznaczenie drugiego wyrazu ciągu.

   Korzystamy z wzoru rekurencyjnego $a_{n+1} = 2a_n + 1$ dla $n = 1$:

   $$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$$

2. Krok 2 – Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu.

   Stosujemy wzór rekurencyjny dla $n = 2$:

   $$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$$

3. Krok 3 – Analiza odpowiedzi.

   • Odpowiedź A) 4 – błędna. Wynik $4$ mógłby powstać np. przez obliczenie $2 \cdot 2 = 4$, czyli pominięcie składnika $+1$ we wzorze rekurencyjnym.
   • Odpowiedź B) 5 – błędna. Wartość $5$ to drugi wyraz ciągu ($a_2 = 5$), nie trzeci.
   • Odpowiedź C) 7 – błędna. Wynik $7$ mógłby powstać przez błędne obliczenie $2 \cdot 3 + 1 = 7$, gdzie zamiast $a_2 = 5$ podstawiono niepoprawną wartość $3$.
   • Odpowiedź D) 11 – poprawna. Zgodnie z obliczeniami: $a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$.

Wynik końcowy: Trzeci wyraz ciągu wynosi $a_3 = \mathbf{11}$, co odpowiada odpowiedzi D.