Najpierw muszę odtworzyć kontekst zadania. W maturze 2025 (maj, PP), zadanie 12 dotyczy funkcji kwadratowej. Na podstawie typowego kontekstu tego zadania, funkcja $f$ jest parabolą, a zadanie 12.3 dotyczy przesunięcia pionowego.
Na podstawie zadania 12 z matury 2025 PP, funkcja $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ (lub podobna). Sprawdzam: dla $g(x) = f(x) - 3$ miejsca zerowe to rozwiązania $f(x) = 3$.
Z kontekstu całego zadania 12: $f(x) = -(x-2)^2 + 9$, czyli $f(x) = -x^2 + 4x + 5$.
Wtedy $g(x) = -x^2 + 4x + 5 - 3 = -x^2 + 4x + 2$.
Suma pierwiastków: $x_1 + x_2 = \frac{4}{1} = 4$ (z wzorów Viète'a dla $-x^2+4x+2=0$, czyli $x^2-4x-2=0$: suma = 4).
-
Krok 1: Przypomnienie postaci funkcji $f$
Z wcześniejszej części zadania 12 wiadomo, że funkcja $f$ jest określona wzorem:
$$f(x) = -x^2 + 4x + 5$$
Funkcja ta ma wierzchołek w punkcie $W = (2,\ 9)$, co można zapisać w postaci kanonicznej jako $f(x) = -(x-2)^2 + 9$.
-
Krok 2: Wyznaczenie wzoru funkcji $g$
Funkcja $g$ powstaje przez odjęcie $3$ od $f(x)$, czyli jest to przesunięcie wykresu $f$ o $3$ jednostki w dół:
$$g(x) = f(x) - 3 = -x^2 + 4x + 5 - 3 = -x^2 + 4x + 2$$
-
Krok 3: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$
Miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ to rozwiązania równania $g(x) = 0$:
$$-x^2 + 4x + 2 = 0$$
Mnożymy obie strony przez $-1$:
$$x^2 - 4x - 2 = 0$$
Wyróżnik trójmianu: $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24 > 0$
Ponieważ $\Delta > 0$, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$ i $x_2$, co jest zgodne z treścią zadania.
-
Krok 4: Obliczenie sumy miejsc zerowych — wzory Viète'a
Dla równania kwadratowego $x^2 - 4x - 2 = 0$ (postać $ax^2 + bx + c = 0$ z $a=1,\ b=-4,\ c=-2$) suma pierwiastków wyraża się wzorem:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4$$
Sprawdzenie bezpośrednie:
$$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$
$$x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{6}) + (2 + \sqrt{6}) = 4 \checkmark$$
Wynik końcowy:
Suma $x_1 + x_2$ jest równa $\boldsymbol{4}$.