Zadanie 1 Matura z matematyki 2025 — podstawowy, arkusz dla klas dwujęzycznych

Rozwiązanie

1. Krok 1: Uproszczenie wyrażenia $\sqrt{32}$

   Rozkładamy liczbę 32 na czynniki, wyodrębniając największy kwadrat doskonały:

   $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$
2. Krok 2: Uproszczenie wyrażenia w nawiasie

   Podstawiamy wynik z Kroku 1:

   $$\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$
3. Krok 3: Obliczenie kwadratu wyrażenia

   Podnosimy uproszczone wyrażenie do kwadratu:

   $$\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 3^2 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 16 – błędna. Wynikałaby z błędnego założenia, że $\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4$, co jest nieprawdą.
• Odpowiedź B) 18 – poprawna. Wynika z poprawnego uproszczenia: $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
• Odpowiedź C) 30 – błędna. Wynikałaby z błędnego zastosowania wzoru $(a-b)^2 = a^2 - b^2$ zamiast poprawnego $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, co dawałoby $32 - 2 = 30$.
• Odpowiedź D) 34 – błędna. Wynikałaby z błędnego zastosowania wzoru $(a-b)^2 = a^2 + b^2$, czyli $32 + 2 = 34$, z pominięciem członu $2ab$.

Wynik końcowy:

Prawidłowa odpowiedź to B).