Zadanie 26 Matura z matematyki 2025 — podstawowy, arkusz B

Rozwiązanie

1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu

   Objętość sześcianu o krawędzi $a$ wynosi $V = a^3$. Z warunków zadania:

   $$a^3 = 729$$ $$a = \sqrt[3]{729} = 9$$

   ponieważ $9^3 = 729$.

2. Wyznaczenie długości przekątnej sześcianu

   Przekątna sześcianu (przestrzenna) o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

   $$d = a\sqrt{3}$$

   Podstawiając $a = 9$:

   $$d = 9\sqrt{3}$$

3. Uzasadnienie wzoru na przekątną

   Przekątna sześcianu łączy dwa przeciwległe wierzchołki i przechodzi przez jego środek. Korzystamy dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa:

   • Przekątna podstawy (kwadrat o boku $a$): $d_p = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
   • Przekątna przestrzenna (trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $d_p$ i $a$): $$d = \sqrt{d_p^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

4. Analiza odpowiedzi

   • Odpowiedź A) $3\sqrt{2}$ — błędna: wynikałaby z przyjęcia $a = 3$ (gdyby $V = 27$, a nie $729$) i zastosowania wzoru na przekątną podstawy zamiast przekątnej przestrzennej.
   • Odpowiedź B) $3\sqrt{3}$ — błędna: wynikałaby z przyjęcia $a = 3$ (błędna krawędź) i poprawnego wzoru $d = a\sqrt{3}$, lecz dla złej wartości krawędzi.
   • Odpowiedź C) $9\sqrt{2}$ — błędna: krawędź $a = 9$ jest poprawna, ale $9\sqrt{2}$ to długość przekątnej podstawy (czyli przekątnej kwadratu o boku 9), a nie przekątnej przestrzennej całego sześcianu.
   • Odpowiedź D) $9\sqrt{3}$ — poprawna: krawędź $a = 9$ jest wyznaczona poprawnie ($9^3 = 729$), a przekątna przestrzenna sześcianu wynosi $d = a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.

Odpowiedź: D) $\boldsymbol{9\sqrt{3}}$