Rozwiązanie zadania 22
Dane: Kwadrat $ABCD$, gdzie $A = (4, -1)$ oraz punkt przecięcia przekątnych $S = (1, 3)$.
-
Krok 1: Wyznaczenie połowy długości przekątnej
W kwadracie przekątne przecinają się w połowie długości każdej z nich. Oznacza to, że punkt $S$ jest środkiem obu przekątnych. W szczególności $S$ jest środkiem przekątnej $AC$, więc:
$$|AS| = \frac{|AC|}{2}$$
Obliczamy odległość punktu $A = (4, -1)$ od punktu $S = (1, 3)$:
$$|AS| = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
-
Krok 2: Obliczenie długości przekątnej
Skoro $S$ jest środkiem przekątnej $AC$, to długość całej przekątnej wynosi:
$$|AC| = 2 \cdot |AS| = 2 \cdot 5 = 10$$
Analiza odpowiedzi
- Odpowiedź A) 5 — BŁĘDNA: Wartość $5$ to jedynie połowa przekątnej, czyli odcinek $|AS|$. Uczeń popełniłby błąd, zapominając, że $S$ to środek przekątnej, a nie jeden z jej końców.
- Odpowiedź B) 10 — POPRAWNA: Ponieważ $S$ jest środkiem przekątnej, cała przekątna ma długość $2 \cdot |AS| = 2 \cdot 5 = 10$.
- Odpowiedź C) 7 — BŁĘDNA: Wartość $7 = 3 + 4$ mogłaby sugerować dodawanie współrzędnych różnic zamiast stosowania wzoru na odległość. Jest to błędny wynik niewynikający z żadnej sensownej interpretacji geometrycznej.
- Odpowiedź D) 14 — BŁĘDNA: Wartość $14 = 2 \cdot 7$ to podwojenie błędnego wyniku z odpowiedzi C, czyli wynik oparty na nieprawidłowym obliczeniu odległości $|AS|$.
Wynik końcowy
Poprawna odpowiedź to B). Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość:
$$\boxed{|AC| = 10}$$
