Rozwiązanie:
-
Krok 1: Wyznaczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
W ciągu geometrycznym iloraz $q$ obliczamy ze wzoru:
$$q = \frac{a_2}{a_1}$$
Podstawiając dane wartości:
$$q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$
-
Krok 2: Przypomnienie wzoru ogólnego ciągu geometrycznego.
Wyrazy ciągu geometrycznego wyznaczamy ze wzoru:
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$
-
Krok 3: Obliczenie czwartego wyrazu ciągu.
Podstawiając $n = 4$, $a_1 = 27$ oraz $q = \dfrac{1}{3}$:
$$a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4-1} = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$$
Można też wyznaczyć kolejne wyrazy krok po kroku:
$$a_3 = a_2 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$$
$$a_4 = a_3 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$$
-
Krok 4: Analiza odpowiedzi.
Odpowiedź A) $1$ — POPRAWNA. Jak wykazano w Kroku 3, $a_4 = 27 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = 27 \cdot \dfrac{1}{27} = 1$. Wynik jest prawidłowy.
Odpowiedź B) $3$ — BŁĘDNA. Wartość $3$ to trzeci wyraz ciągu ($a_3 = 3$), a nie czwarty. Błąd polega na pomyleniu indeksu wyrazu — zastosowano wzór dla $n = 3$ zamiast $n = 4$.
Odpowiedź C) $\dfrac{1}{3}$ — BŁĘDNA. Wartość $\dfrac{1}{3}$ to iloraz ciągu $q$, a nie czwarty wyraz. Błąd polega na utożsamieniu ilorazu z wyrazem ciągu.
Odpowiedź D) $729$ — BŁĘDNA. Wartość $729 = 27^2 = 3^6$ sugerowałaby ciąg rosnący, co jest sprzeczne z faktem, że $a_2 = 9 \lt a_1 = 27$. Błąd mógł wynikać z użycia ilorazu $q = 3$ (odwrotność właściwego ilorazu) lub z mnożenia zamiast dzielenia.
Wynik końcowy: Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $\boldsymbol{1}$.
Odpowiedź: A)
