Rozwiązanie zadania 14.2
Najpierw wyznaczamy kilka początkowych wyrazów ciągu, aby zbadać jego charakter.
-
Krok 1: Obliczenie początkowych wyrazów ciągu
Korzystamy z definicji rekurencyjnej $a_{n+1} = 2a_n + 1$ przy $a_1 = 2$:
$$a_1 = 2$$
$$a_2 = 2 \cdot a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$$
$$a_3 = 2 \cdot a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$$
$$a_4 = 2 \cdot a_3 + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23$$
-
Krok 2: Sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny
Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnice kolejnych wyrazów są stałe, tzn. $a_{n+1} - a_n = \text{const}$.
Obliczamy kolejne różnice:
$$a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$$
$$a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$$
$$a_4 - a_3 = 23 - 11 = 12$$
Różnice nie są stałe ($3 \neq 6 \neq 12$), więc ciąg nie jest arytmetyczny.
Stwierdzenie 1: F (fałsz)
-
Krok 3: Sprawdzenie, czy ciąg jest geometryczny
Ciąg jest geometryczny, gdy ilorazy kolejnych wyrazów są stałe, tzn. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \text{const}$.
Obliczamy kolejne ilorazy:
$$\frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{2} = 2{,}5$$
$$\frac{a_3}{a_2} = \frac{11}{5} = 2{,}2$$
$$\frac{a_4}{a_3} = \frac{23}{11} \approx 2{,}09$$
Ilorazy nie są stałe ($2{,}5 \neq 2{,}2 \neq \frac{23}{11}$), więc ciąg nie jest geometryczny.
Stwierdzenie 2: F (fałsz)
-
Krok 4: Uzasadnienie ogólne (dlaczego ciąg nie może być arytmetyczny ani geometryczny)
Różnica między kolejnymi wyrazami wynosi:
$$a_{n+1} - a_n = (2a_n + 1) - a_n = a_n + 1$$
Ponieważ $a_n$ rośnie, różnica $a_n + 1$ nie jest stała — ciąg nie jest arytmetyczny.
Iloraz kolejnych wyrazów wynosi:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2a_n + 1}{a_n} = 2 + \frac{1}{a_n}$$
Ponieważ $a_n$ rośnie, wyrażenie $2 + \dfrac{1}{a_n}$ maleje i nie jest stałe — ciąg nie jest geometryczny.
Odpowiedź końcowa:
- Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny: F
- Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny: F
