Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:
$$\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \end{cases} \text{ dla każdej liczby naturalnej } n \geq 1$$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzeci wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy
A11
B7
C5
D4
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie:
Krok 1 – Wyznaczenie drugiego wyrazu ciągu.
Korzystamy z rekurencji $a_{n+1} = 2a_n + 1$ dla $n = 1$:
$$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$$
Krok 2 – Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu.
Stosujemy rekurencję dla $n = 2$:
$$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$$
Krok 3 – Analiza odpowiedzi.
Odpowiedź A) 11 – POPRAWNA. Zgodnie z obliczeniami $a_3 = 11$.
Odpowiedź B) 7 – BŁĘDNA. Wynik $7$ można by otrzymać, gdyby zastosować wzór $a_3 = 2a_1 + 1 \cdot 3 = 2 \cdot 2 + 3 = 7$, co jest niepoprawnym zastosowaniem rekurencji – należy wyznaczyć kolejne wyrazy po kolei, a nie podstawiać $a_1$ bezpośrednio do wzoru dla $a_3$.
Odpowiedź C) 5 – BŁĘDNA. Wartość $5$ to drugi wyraz ciągu $a_2$, nie trzeci.
Odpowiedź D) 4 – BŁĘDNA. Wartość $4$ to jedynie wynik działania $2 \cdot a_1 = 2 \cdot 2 = 4$, czyli pominięto dodawanie $+1$ w rekurencji przy wyznaczaniu $a_2$, a następnie nie wykonano kolejnego kroku.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.