Rozwiązanie
-
Krok 1: Rozkład licznika — wyłączenie wspólnego czynnika
W liczniku wyrażenia wyłączamy przed nawias czynnik $5^{12}$:
$$5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12}(1 + 5^1 + 5^2) = 5^{12}(1 + 5 + 25)$$
-
Krok 2: Obliczenie sumy w nawiasie
Sumujemy wyrazy w nawiasie:
$$1 + 5 + 25 = 31$$
Zatem licznik wynosi $5^{12} \cdot 31$.
-
Krok 3: Uproszczenie całego ułamka
Podstawiamy do pierwotnego wyrażenia i skracamy:
$$\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}} = \frac{5^{12} \cdot 31}{5^{12}} = 31$$
Analiza odpowiedzi
- Odpowiedź A) $5^{12}$ — błędna. Błąd polegałby na nieprawidłowym dodawaniu wykładników zamiast uproszczenia ułamka.
- Odpowiedź B) $5^{27}$ — błędna. Wynikałaby z mylnego założenia, że w liczniku mnoży się potęgi zamiast je dodawać ($5^{12+13+14} \div 5^{12}$), co jest niepoprawnym zastosowaniem działań na potęgach.
- Odpowiedź C) 30 — błędna. Wynikałaby z pominięcia wyrazu $1$ przy wyłączaniu przed nawias, czyli błędnego obliczenia $5 + 25 = 30$.
- Odpowiedź D) 31 — poprawna, co wynika z powyższego rozwiązania.
Wynik końcowy:
$$\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}} = \boxed{31}$$
Prawidłowa odpowiedź to D).
