Rozwiązanie

1. Krok 1: Uproszczenie wyrażenia $\sqrt{32}$

   Rozkładamy liczbę 32 na czynniki, aby wyłączyć pełny kwadrat spod pierwiastka:

   $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$
2. Krok 2: Uproszczenie wyrażenia w nawiasie

   Podstawiamy uproszczoną postać $\sqrt{32}$:

   $$\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$
3. Krok 3: Obliczenie kwadratu wyrażenia

   Podnosimy wynik do kwadratu:

   $$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 34 — błędna. Wynik 34 mógłby powstać przez błędne zastosowanie wzoru $(a-b)^2 = a^2 + b^2$ bez członu $-2ab$, czyli $(\sqrt{32})^2 + (\sqrt{2})^2 = 32 + 2 = 34$. Jest to niepoprawne, gdyż pominięto wyraz $-2\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}$.
• Odpowiedź B) 30 — błędna. Wynik 30 mógłby powstać przez błędne obliczenie $(\sqrt{32})^2 - (\sqrt{2})^2 = 32 - 2 = 30$, co odpowiada wzorowi na różnicę kwadratów $(a-b)(a+b)$, a nie kwadratowi różnicy.
• Odpowiedź C) 18 — poprawna. Po uproszczeniu $\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$, a następnie $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
• Odpowiedź D) 16 — błędna. Wynik 16 mógłby powstać przez błędne założenie, że $\sqrt{32} - \sqrt{2} = \sqrt{32 - 2} = \sqrt{30}$, co jest nieuprawnione, gdyż pierwiastek sumy (różnicy) nie równa się sumie (różnicy) pierwiastków.

Wynik końcowy

$$(\sqrt{32} - \sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 = \mathbf{18}$$

Odpowiedź: C)