Oznaczenia. Niech $k$ będzie symetralną odcinka $AB$, przecinającą go w środku $S$, a $P$ — dowolnym punktem prostej $k$.

Przypadek szczególny. Jeśli $P=S$, to $|PA|=|PB|$ wprost z definicji środka odcinka.

Krok 1 — porównujemy trójkąty $ASP$ i $BSP$. Mają:

• $|AS|=|BS|$ — bo $S$ jest środkiem odcinka,
• kąty przy $S$ proste — bo symetralna jest prostopadła do $AB$,
• $|SP|$ — bok wspólny.

Krok 2 — przystawanie. To cecha bok–kąt–bok, więc trójkąty $ASP$ i $BSP$ są przystające.

Krok 3 — wniosek. Odpowiadające sobie boki są równe:

$$|PA|=|PB| \qquad ∎$$

Twierdzenie odwrotne też zachodzi: jeśli punkt jest równo oddalony od $A$ i $B$, to leży na symetralnej odcinka $AB$. Dlatego mówimy, że symetralna to zbiór wszystkich takich punktów.