Oznaczenia. Niech trójkąt $ABC$ ma ramiona $|AC|=|BC|$, a $CD$ będzie wysokością opuszczoną na podstawę $AB$.
Krok 1 — porównujemy trójkąty $ACD$ i $BCD$. Mają:
- $|AC|=|BC|$ — z założenia o równych ramionach,
- $|CD|$ — bok wspólny,
- kąty przy $D$ proste — bo $CD$ jest wysokością.
Krok 2 — przystawanie. To cecha bok–bok–kąt dla trójkątów prostokątnych (równe przeciwprostokątne i jedna przyprostokątna), więc oba trójkąty są przystające.
Krok 3 — wnioski z przystawania. Odpowiadające sobie elementy są równe:
$$|AD|=|BD| \quad\Rightarrow\quad CD \ \text{przechodzi przez środek } AB$$
$$\angle ACD=\angle BCD \quad\Rightarrow\quad CD \ \text{dzieli kąt } ACB \text{ na połowy}$$
Krok 4 — domknięcie. Skoro $CD$ przechodzi przez środek $AB$ i jest do niego prostopadła, jest symetralną podstawy. Skoro dzieli kąt $ACB$ na dwa równe, jest jego dwusieczną. $\qquad ∎$
Warto zapamiętać. W trójkącie równoramiennym cztery linie zlewają się w jedną: wysokość, środkowa, dwusieczna i symetralna podstawy. W trójkącie różnobocznym są to cztery różne proste.
Sprawdzenie: w trójkącie o ramionach $5$ i podstawie $6$ wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki po $3$, a z twierdzenia Pitagorasa $h=\sqrt{25-9}=4$ — oba trójkąty prostokątne są identyczne ✔