📄 Treść zadania
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n^2+2n\) dla \(n\ge1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Krok 1. Zapisanie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu.
Jeżeli pierwszy wyraz ciągu zapiszemy jako \(a_{n}\), to drugim wyrazem będzie \(a_{n+1}\). Wartość \(a_{n}\) jest podana w treści zadania, natomiast \(a_{n+1}\) obliczymy podstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\). W związku z tym:
$$S=a_{n}+a_{n+1} \\
S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1) \ ,\
S=2n^2+2n+2(n^2+2n+1)+2n+2 \ ,\
S=2n^2+2n+2n^2+4n+2+2n+2 \ ,\
S=4n^2+8n+4$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Aby móc udowodnić tezę zawartą w zadaniu musimy przedstawić ten wynik w formie jakiejś potęgi. Z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia, a konkretnie na potęgę sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tym wzorem:
$$S=4n^2+8n+4=(2n+2)^2$$
\(2n+2\) jest zawsze liczbą naturalną, bo z definicji ciągów wiemy, że \(n\in N\), a liczba naturalna pomnożona przez \(2\) i powiększona o \(2\) dalej jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony.