Zadanie 34 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2013 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
\(t\) - czas jazdy pierwszego pociągu
\(v\) - prędkość jazdy pierwszego pociągu
\(t+\frac{2}{3}h\) - czas jazdy drugiego pociągu (dodajemy \(\frac{2}{3}\), bo \(40\) minut to \(\frac{2}{3}\) godziny. Gdybyśmy zapisali to jako \(t+40min\) to potem nie moglibyśmy się posługiwać jednostkami \(\frac{km}{h}\))
\(v-9\frac{km}{h}\) - prędkość jazdy drugiego pociągu
\(s=336km\) - długość całej trasy

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na drogę \(s=v\cdot t\). Podstawiając do niego nasze dane wypisane w pierwszym otrzymamy następujący układ równań:
\begin{cases} vt=336 \\ (v-9)(t+\frac{2}{3})=336 \end{cases}\begin{cases} t=\frac{336}{v} \\ vt+\frac{2}{3}v-9t-6=336 \end{cases}

Po podstawieniu wartości \(t\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
v\cdot\frac{336}{v}+\frac{2}{3}v-9\cdot\frac{336}{v}-6=336$$ $$\cancel{336}+\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=\cancel{336}$$ $$\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$ $$v-\frac{4536}{v}-9=0 \quad\bigg/\cdot v$$ $$v^2-9v-4536=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-9,\;c=-4536\)
$$Δ=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot1\cdot(-4536)=81+18144=18225$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{18225}=135$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)-135}{2\cdot1}=\frac{9-135}{2}=\frac{-126}{2}=-63$$ $$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)+135}{2\cdot1}=\frac{9+135}{2}=\frac{144}{2}=72$$

Rozwiązanie ujemne wykluczamy, bo prędkość musi być dodatnia. To oznacza, że ostatecznym rozwiązaniem jest \(v=72\frac{km}{h}\).

Krok 4. Obliczenie prędkości drugiego pociągu.
Prędkość jazdy drugiego pociągu to:
$$v-9\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}-9\frac{km}{h}=63\frac{km}{h}$$