📄 Treść zadania
Dany jest trapez o podstawach długości \(a\) oraz \(b\) i wysokości \(h\). Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o \(25\%\), a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość \(h\) trapezu.
Krok 1. Zapisanie wzorów na pole trapezu.
Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$
Wiemy, że podstawy naszego początkowego trapezu zostały wydłużone o \(25\%\), czyli wynoszą teraz \(1,25a\) oraz \(1,25b\). Naszym celem jest poznanie długości nowej wysokości, którą oznaczymy sobie jako \(x\). Wzór na pole zmienionego trapezu będziemy więc mogli zapisać jako:
$$P=\frac{1}{2}(1,25a+1,25b)\cdot x$$
Krok 2. Obliczenie nowej wysokości trapezu.
Pola powierzchni jednego i drugiego trapezu muszą być równe, zatem:
$$\frac{1}{2}(a+b)\cdot h=\frac{1}{2}(1,25a+1,25b)\cdot x \ ,\
(a+b)\cdot h=(1,25a+1,25b)\cdot x \ ,\
(a+b)\cdot h=1,25(a+b)\cdot x \quad\bigg/:(a+b) \ ,\
h=1,25x \ ,\
h=\frac{5}{4}x \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \ ,\
x=\frac{4}{5}h$$
Skoro nowa wysokość stanowi \(\frac{4}{5}\) starej wysokości, to znaczy, że wysokość została skrócona o \(20\%\).