📄 Treść zadania
Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) jest równa:
A
\(\frac{1}{2}\)
B
\(\frac{3}{2}\)
C
\(3\)
D
\(17\)
Podstawiając \(x=\frac{1}{2}\) do wzoru naszej funkcji otrzymamy:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=4^{-\frac{1}{2}}+1$$
Z własności potęg wiemy, że ujemnej potęgi możemy się pozbyć poprzez odwrócenie liczby potęgowanej. Odwrotnością \(4\) jest \(\frac{1}{4}\) zatem otrzymamy:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}+1$$
Teraz przydadzą nam się własności pierwiastków. Wykładnik potęgi w postaci ułamka możemy zamienić na pierwiastek w następujący sposób:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt[2]{\frac{1}{4}^{1}}+1$$
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}}+1$$
Tak jak pierwiastek z \(4\) to \(2\), tak pierwiastek z \(\frac{1}{4}\) to \(\frac{1}{2}\). Otrzymamy zatem:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+1$$
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$$