Zadanie 28 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2015 — zadania z rozwiązaniami

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że trójkąty \(ABC\) i \(ABD\) są prostokątne. Skąd to wiemy? Obydwa trójkąty wyznaczone przez przekątne czworokąta są oparte na średnicy okręgu, a z własności figur w okręgach wiemy, że to jest równoznaczne z tym że dany trójkąt jest prostokątny. Tak więc:
$$\sphericalangle ADB|=|\sphericalangle ACB|=90°$$

Skoro są to trójkąty prostokątne to do udowodnienia tezy zawartej w zadaniu możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, tworząc prosty układ równań:
\begin{cases} \text{Trójkąt }ABD: |AD|^2+|BD|^2=|AB|^2 \\ \text{Trójkąt }ABC: |BC|^2+|AC|^2=|AB|^2 \end{cases}

Po prawej stronie tych dwóch równań mamy wartość \(|AB|^2\), więc korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2$$

Co należało udowodnić.