📄 Treść zadania
Wykaż, że liczba \((1+2013^2)(1+2013^4)\) jest dzielnikiem liczby:
\(1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7\).
Najprościej jest to zadanie udowodnić wyłączając wartość \((1+2013)\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7=$$
$$=1\cdot(1+2013)+2013^2\cdot(1+2013)+2013^4\cdot(1+2013)+2013^6\cdot(1+2013)=$$
$$=(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot(1+2013)=$$
$$(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot2014$$
Teraz, wystarczy zauważyć, że:
$$(1+2013^2)(1+2013^4)=1+2013^2+2013^4+2013^6$$
To oznacza, że nasza liczba jest jak najbardziej podzielna przez \((1+2013^2)(1+2013^4)\), a wynikiem tego dzielenia będzie \(2014\).