📄 Treść zadania
Z pojemnika, w którym jest siedem kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\), losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymamy kule oznaczone liczbami, z których pierwsza będzie mniejsza od \(4\) i druga będzie parzysta.
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Pierwsze losowanie odbywa się z siedmiu dostępnych kul. Mamy informację, że losowanie jest bez zwracania, więc wylosowana kula nie wraca już do pojemnika, czyli w drugim losowaniu dostępnych będzie już tylko sześć kul. To oznacza, że zdarzeń elementarnych będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia \(|Ω|=7\cdot6=42\).
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której liczba na pierwszej kuli jest równa \(1\), \(2\) lub \(3\), a na drugiej \(2\), \(4\) lub \(6\). Moglibyśmy zapisać, że zgodnie z regułą mnożenia jest ich \(|A|=3\cdot3=9\), ale trzeba byłoby tutaj nanieść jeszcze poprawkę, że zdarzenie \((2;2)\) nie może wystąpić (bo losowanie jest bez zwracania), więc tych zdarzeń tak naprawdę jest \(|A|=9-1=8\). Dla pewności możemy je sobie wypisać:
$$(1;2), (1;4), (1;6) \ ,\
(2;4), (2;6) \ ,\
(3;2), (3;4), (3;6)$$
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$$