Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znamy dwa miejsca zerowe, więc możemy przystąpić do zapisania funkcji w postaci iloczynowej. Dla przypomnienia, postać iloczynowa wygląda następująco:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
Podstawiając teraz podane miejsca zerowe otrzymamy:
$$y=a\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1)$$
$$8=a\cdot\left(-3+2\frac{1}{2}\right)(-3-1)$$
$$8=a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4)$$
$$8=2a$$
$$a=4$$
To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem:
$$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1)$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej.
Chcemy teraz zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej (umożliwi nam to potem poznanie najmniejszej wartości funkcji). W tym celu musimy wymnożyć przez siebie nawiasy i uporządkować zapis:
$$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1)$$
$$y=(4x+10)(x-1)$$
$$y=4x^2-4x+10x-10$$
$$y=4x^2+6x-10$$
Krok 3. Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\).
Wykres naszej funkcji jest parabolą, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a=4\)). Skoro tak, to swoją najmniejszą wartość ta funkcja będzie przyjmować w wierzchołku:
Nas interesuje poznanie najmniejszej wartości, czyli szukamy wartości współrzędnej \(q\). Korzystając zatem ze wzoru na tą współrzędną możemy zapisać, że:
$$q=-\frac{\Delta}{4a}$$
$$q=-\frac{(b^2-4ac)}{4a}$$
$$q=-\frac{(6^2-4\cdot4\cdot(-10))}{4\cdot4}$$
$$q=-\frac{(36+160)}{16}$$
$$q=-\frac{196}{16}$$
$$q=-12\frac{1}{4}$$
Tak na marginesie, można też byłoby obliczyć wartość współrzędnej \(p\) (ją się wylicza nieco szybciej), a następnie można byłoby sprawdzić jaką wartość przyjmuje funkcja dla tego argumentu. Współrzędną \(p\) obliczylibyśmy w następujący sposób:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$p=\frac{-6}{2\cdot4}$$
$$p=\frac{-6}{8}$$
$$p=-\frac{3}{4}$$
I teraz podstawiając wartość \(x=-\frac{3}{4}\) do wzoru \(y=4x^2+6x-10\), otrzymalibyśmy:
$$q=4\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)^2+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10$$
$$q=4\cdot\frac{9}{16}+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10$$
$$q=\frac{9}{4}+\left(-\frac{18}{4}\right)-10$$
$$q=-\frac{9}{4}-10$$
$$q=-12\frac{1}{4}$$