📄 Treść zadania
Liczba naturalna \(a\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\). Wykaż, że reszta z dzielenia liczby \(2a^2\) przez \(7\) jest równa \(1\).
Wiemy, że liczba \(a\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), zatem możemy ją zapisać w postaci \(a=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(2a^2\) otrzymamy:
$$2a^2=2\cdot(7n+2)^2=2\cdot(49n^2+28n+4)=98n^2+56n+8$$
Jak teraz udowodnić, że ta otrzymana przed chwilą liczba dzieli się przez przez \(7\), dając resztę \(1\)? Moglibyśmy wyłączyć siódemkę przed nawias (\(98:7\) to \(14\), a \(56:7=8\)), ale przeszkadza nam w tym \(8\), która nie dzieli się przez \(7\). Rozbijmy sobie zatem \(8\) na sumę \(7+1\) i zapiszmy, że:
$$98n^2+56n+7+1=7\cdot(14n^2+8n+1)+1$$
Otrzymany wynik mówi nam, że dzieląc całe wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę naturalną (opisaną jako \(14n^2+8n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(1\) reszty, co należało właśnie udowodnić.