📄 Treść zadania
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa \(8\) cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa \(2\) cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.
Krok 1. Zapisanie równań.
Jeżeli dwa okręgi są styczne zewnętrznie, to odległość między ich środkami jest równa sumie promieni. My wiemy, że ta odległość jest równa \(8cm\), zatem:
$$r_{1}+r_{2}=8$$
Jeżeli dwa okręgi są styczne wewnętrznie, to odległość między ich środkami jest równa różnicy promieni. My wiemy że ta odległość jest równa \(2cm\), zatem:
$$r_{2}-r_{1}=2$$
(tu zakładamy, że okrąg oznaczony promieniem \(r_{2}\) jest większy)
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z wyznaczonych w pierwszym kroku równań możemy ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} r_{2}+r_{1}=8 \\ r_{2}-r_{1}=2 \end{cases}$$
Ten układ możemy rozwiązać dowolną metodą, ale najprościej będzie dodać wszystko stronami, otrzymując:
$$2r_{2}=10$$
$$r_{2}=5$$
Skoro drugi promień jest \(5\), to korzystając z pierwszego równania:
$$r_{1}+r_{2}=8$$
$$r_{1}+5=8$$
$$r_{1}=3$$