📄 Treść zadania
Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Wtedy:
A
\(cos\alpha=\frac{5}{2\sqrt{5}}\)
B
\(cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
C
\(cos\alpha=\frac{1}{5}\)
D
\(cos\alpha=\frac{4}{5}\)
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \ ,\
\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2+cos^2α=1 \ ,\
\frac{4\cdot5}{25}+cos^2α=1 \ ,\
\frac{20}{25}+cos^2α=1 \ ,\
cos^2α=\frac{1}{5} \ ,\
cosα=\sqrt{\frac{1}{5}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{1}{5}}$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo kąt \(α\) jest kątem ostrym, zatem zostaje nam \(cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}\). Musimy się jeszcze dopasować do proponowanych odpowiedzi, usuwając po drodze niewymierność z mianownika:
$$cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$