Zadanie 34 Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2018 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Boki trójkąta są tak naprawdę stycznymi do okręgu, zatem wykorzystując własności stycznych do okręgu możemy stworzyć taki oto rysunek pomocniczy:



Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Skoro jest to trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2$$ $$(2+x)^2+5^2=(3+x)^2$$ $$4+4x+x^2+25=9+6x+x^2 \quad\bigg/-x^2$$ $$4+4x+25=9+6x$$ $$4x+29=9+6x$$ $$-2x+29=9$$ $$-2x=-20$$ $$x=10$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(AB\).
Skoro \(x=10\), to znaczy że:
$$|AB|=2+x$$ $$|AB|=2+10$$ $$|AB|=12$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Wiemy już, że podstawa trójkąta ma długość \(12\) i wysokość \(5\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}ah$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5$$ $$P=6\cdot5$$ $$P=30$$