📄 Treść zadania
Dane są punkty \(A=(2,3)\) oraz \(B=(-6,-3)\). Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny \(ABC\) jest równy:
A
\(\frac{20\sqrt{3}}{3}\)
B
\(\frac{40\sqrt{3}}{3}\)
C
\(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
D
\(\frac{10\sqrt{3}}{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\), stąd też możemy obliczyć długość boku \(AB\), korzystając ze wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
$$|AB|=\sqrt{(-6-2)^2+(-3-3)^2}$$
$$|AB|=\sqrt{(-8)^2+(-6)^2}$$
$$|AB|=\sqrt{64+36}$$
$$|AB|=\sqrt{100}$$
$$|AB|=10 \quad\lor\quad |AB|=-10$$
Ujemną długość odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AB|=10\).
Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Skoro trójkąt \(ABC\) jest równoboczny i ma bok długości \(10\), to jego wysokość będzie równa:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$h=\frac{10\sqrt{3}}{2}$$
$$h=5\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równa \(\frac{1}{3}\) jego wysokości, zatem:
$$r=\frac{1}{3}h$$
$$r=\frac{1}{3}\cdot5\sqrt{3}$$
$$r=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$