Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia. Skoro stosunek boków prostokąta ma wynosić \(3:4\), to niech bok \(AB=3x\) oraz \(BC=4x\). Przy okazji zaznaczmy na rysunku kluczowy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Całość będzie więc wyglądać w następujący sposób:



Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\).
Skorzystamy tutaj z informacji, że pole prostokąta w podstawie jest równe \(192\). Zatem:
$$3x\cdot4x=192 \           ,\
12x^2=192 \           ,\
x^2=16 \           ,\
x=4$$

Długości odcinków \(AB\) i \(BC\) wynoszą więc:
$$|AB|=3x=3\cdot4=12 \           ,\
|BC|=4x=4\cdot4=16$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Do wyznaczenia długości wysokości ostrosłupa przyda nam się znajomość długości odcinka \(AE\). Jest to dokładnie połowa przekątnej \(AC\). Obliczmy więc z Twierdzenia Pitagorasa najpierw długość odcinka \(AC\):
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \           ,\
12^2+16^2=|AC|^2 \           ,\
144+256=|AC|^2 \           ,\
|AC|^2=400 \           ,\
|AC|=20$$

Tak jak powiedzieliśmy sobie, odcinek \(AE\) jest równy połowie odcinka \(AC\), zatem:
$$|AE|=\frac{1}{2}|AC| \           ,\
|AE|=\frac{1}{2}\cdot20 \           ,\
|AE|=10$$

Krok 4. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.

Spójrzmy na kluczowy trójkąt \(AES\). Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej z tangensa. Skoro krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\), to:
$$tg30°=\frac{|SE|}{|AE|} \           ,\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|SE|}{10} \           ,\
|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Wysokość naszego ostrosłupa jest więc równa \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
$$P_{p}=192 \           ,\
H=\frac{10\sqrt{3}}{3} \           ,\
\           ,\
V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}\cdot192\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \           ,\
V=64\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \           ,\
V=\frac{640\sqrt{3}}{3}$$