Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r \           ,\
a_{5}=a_{1}+4r \           ,\
\           ,\
a_{10}=a_{1}+(10-1)r \           ,\
a_{10}=a_{1}+9r$$

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.
Zgodnie z treścią zadania:
\begin{cases} a_{1}+4r=22 \quad , \\ a_{1}+9r=47 \end{cases}

Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$4r-9r=22-47 \           ,\
-5r=-25 \           ,\
r=5$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{5}=a_{1}+4r \           ,\
22=a_{1}+4\cdot5 \           ,\
22=a_{1}+20 \           ,\
a_{1}=2$$