📄 Treść zadania
Paweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich wspólny kolega będzie kolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry, której ścianki są oznaczone od \(1\) do \(6\). Gdy na kostce wypadnie liczba oczek mniejsza od \(4\), to Grzegorz daje Pawłowi \(10\) żetonów, a gdy na kostce wypadnie liczba oczek równa \(6\), to Paweł daje Grzegorzowi \(x\) żetonów. W pozostałych przypadkach żaden z graczy nie zyskuje ani nie traci żetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę żetonów tak, aby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa wartości oczekiwanej zysku z gry Grzegorza. Oblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę \(x\) żetonów.
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy standardową sześcienną kostką do gry, zatem liczba zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Dla Pawła zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której na kostce padnie wypadnie liczba mniejsza od \(4\) (wtedy otrzyma \(10\) żetonów), więc Pawła interesują wyniki: \(1, 2\) oraz \(3\). To oznacza, że \(|A|=3\).
Dla Grzegorza zdarzeniem sprzyjającym będzie wyrzucenie jedynie wartości \(6\), stąd też \(|B|=1\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
W przypadku Pawła \(P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
W przypadku Grzegorza \(P(B)=\frac{|B|}{|Ω|}=\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\)
Krok 4. Obliczenie wartości oczekiwanej.
Chcąc obliczyć wartość oczekiwaną możemy posłużyć się dość skomplikowanym wzorem z tablic. Prościej jednak będzie wykonać to metodą prostej analizy. Skoro prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia sprzyjającego Grzegorzowi jest \(3\) razy mniejsza niż Pawła, to wartość oczekiwana powinna być \(3\) razy większa niż nagroda Pawła (mówiąc wprost - Grzegorz ma \(3\) razy mniejsze szanse na wygraną, więc jego nagroda musi być \(3\) razy większa). W związku z tym:
$$x=3\cdot10=30$$