📄 Treść zadania
Trójki liczb naturalnych \(a\), \(b\) i \(c\) które spełniają warunek \(a^2+b^2=c^2\) nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:
$$a=2n+1 \quad\quad\quad b=2n(n+1) \quad\quad\quad c=2n^2+2n+1$$
gdzie \(n\) oznacza dowolną liczbę naturalną (\(n\ge1\)). W zadaniach 8. i 9. liczby \(a\), \(b\) i \(c\) są wyznaczone za pomocą tych wzorów.
Jeżeli najmniejsza z liczb \(a\), \(b\) i \(c\) jest równa \(9\), to największa z tych liczb jest równa:
A
\(41\)
B
\(73\)
C
\(145\)
D
\(181\)
Krok 1. Ustalenie, która liczba jest najmniejsza, a która największa.
Rozpiszmy każdą z liczb, tak aby móc ustalić, która z nich jest najmniejsza, a która największa:
\(a=2n+1\)
\(b=2n(n+1)=2n^2+2n\)
\(c=2n^2+2n+1\)
Zwróćmy uwagę, że w każdej liczbie pojawia się suma dodatnich liczb, z których jedna jest równa \(2n\). W pierwszej liczbie do tej wartości \(2n\) dodajemy dodatkowo \(1\), w drugiej \(2n^2\), a w trzeciej \(2n^2+1\). To prowadzi nas do wniosku, że jeżeli \(n\) jest liczbą naturalną, to najmniejszą z podanych liczb będzie \(a\), natomiast największą będzie \(c\).
Krok 2. Obliczenie wartości największej liczby.
Najmniejszą ze wszystkich liczb jest \(a\), która jest opisana jako \(2n+1\). Skoro jest ona równa \(9\), to:
$$2n+1=9 \ ,\
2n=8 \ ,\
n=4$$
Największą liczbą jest \(c\) i jest ona opisana jako \(2n^2+2n+1\). Skoro więc \(n=4\), to:
$$2\cdot4^2+2\cdot4+1=2\cdot16+8+1=32+8+1=41$$