📄 Treść zadania
Do zestawu liczb: \(3\), \(5\) i \(9\) dopisano czwartą liczbę. Mediana otrzymanego w ten sposób zestawu czterech liczb jest większa od mediany początkowego zestawu trzech liczb. Uzasadnij, że dopisana liczba jest większa od \(5\).
Krok 1. Obliczenie mediany z zestawu liczb \(3, 5, 9\).
Mediana to tak zwana wartość środkowa. Aby obliczyć medianę należy najpierw uporządkować liczby od najmniejszej do największej. To mamy już akurat zrobione w treści zadania, więc możemy przejść do obliczeń. Mediana nieparzystej ilości liczb jest po prostu środkowym wyrazem, zatem mediana z liczb \(3, 5, 9\) jest równa \(m=5\).
Krok 2. Rozpatrzenie mediany po dopisaniu mniejszej lub równej \(5\).
Po dopisaniu liczby mniejszej lub równej \(5\) otrzymamy zestaw liczb:
$$x, 3, 5, 9$$
$$\text{lub}$$
$$3, x, 5, 9$$
W takim przypadku mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów, czyli:
$$m=\frac{3+5}{2}=4$$
$$\text{lub}$$
$$m=\frac{x+5}{2}\le5$$
Wniosek: dodając liczbę mniejszą lub równą \(5\), mediana na pewno nie będzie większa od \(5\).
Krok 3. Rozpatrzenie mediany po dopisaniu liczby większej niż \(5\).
Po dopisaniu liczby większej niż \(5\) otrzymamy zestaw czterech liczb:
$$3, 5, x, 9$$
$$\text{lub}$$
$$3, 5, 9, x$$
W takim przypadku mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów, czyli:
$$m=\frac{5+x}{2}\ge5$$
$$\text{lub}$$
$$m=\frac{5+9}{2}=7$$
W ten sposób udowodniliśmy, że mediana większa od \(5\) jest tylko i wyłącznie w sytuacji, gdy dopisana liczba jest większa od \(5\).