Zadanie 13 Egzamin gimnazjalny 2006 - matematyka — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Aby obliczyć długość odcinka \(AC\) będziemy musieli posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa i trójkątem \(AGC\). Odcinek \(GC\) jest znany i jego długość wynosi \(5,4m\). Potrzebowalibyśmy poznać długość jeszcze odcinka \(AG\) i ona choć nie jest podana wprost, to jest prosta do wyznaczenia, bowiem będzie to połowa długości odcinka \(AB\). Skoro \(AB\) ma długość \(14,4m\), to odcinek \(AG\) ma długość \(14,4m:2=7,2m\). Zatem:
$$(7,2)^2+(5,4)^2=|AC|^2$$ $$51,84+29,16=|AC|^2$$ $$|AC|^2=81$$ $$|AC|=9[m]$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DE\).
Należy zauważyć, że trójkąty \(ABC\) oraz \(DEC\) są podobne (cecha podobieństwa: kąt-kąt-kąt). Skoro tak, to możemy poznać długość boku \(DE\) korzystając z proporcji w stylu:
$$\frac{|AC|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|DE|}$$ $$\frac{9}{5}=\frac{14,4}{|DE|}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$9\cdot|DE|=72$$ $$|DE|=8[m]$$

To oznacza, że mamy obliczone wszystko co było wymagane - długość krokwi \(AC\) wynosi \(9m\), natomiast długość belki \(DE\) jest równa \(8m\).

Uwaga: to nie była jedyna słuszna proporcja którą można zastosować. Równie dobrze można przykładowo zapisać proporcję:
$$\frac{AB}{DE}=\frac{CG}{CF}$$

Powyższa proporcja jest także jak najbardziej poprawna proporcja, tylko trzeba dodatkowo obliczyć długość odcinka \(CF\), a będzie ona równa \(5,4-2,4=3\).