Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości \(12\). Objętość tego walca jest zatem równa:

A \(36\pi\sqrt{2}\)
B \(108\pi\sqrt{2}\)
C \(54\pi\)
D \(108\pi\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu. Kwadrat o boku \(a\) ma długość przekątnej równą \(a\sqrt{2}\). Skoro nasza przekątna ma długość \(12\), to znaczy że: $$a\sqrt{2}=12 \           ,\ a=\frac{12}{\sqrt{2}} \           ,\ a=\frac{12\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \           ,\ a=\frac{12\sqrt{2}}{2} \           ,\ a=6\sqrt{2}$$ Krok 3. Obliczenie długości promienia podstawy. W podstawie znajduje się koło, którego średnica (zgodnie z rysunkiem) jest równa \(6\sqrt{2}\). Nam do obliczenia objętości będzie potrzebny promień tego koła, a skoro promień jest dwa razy krótszy od średnicy to: $$r=6\sqrt{2}:2 \           ,\ r=3\sqrt{2}$$ Krok 4. Obliczenie objętości walca. Wiemy już, że \(r=3\sqrt{2}\). Z rysunku widzimy też, że wysokość walca jest równa długości boku kwadratu, czyli \(H=6\sqrt{2}\), zatem: $$V=π r^2 \cdot H \           ,\ V=(3\sqrt{2})^2\cdot π\cdot6\sqrt{2} \           ,\ V=9\cdot2\cdot π\cdot6\sqrt{2} \           ,\ V=108\sqrt{2}π$$

Teoria:      
W trakcie opracowania