Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości \(12\). Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

A \(6π(1+\sqrt{2})\)
B \(36π(1+\sqrt{2})\)
C \(24π\)
D \(36π\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy narysować tę sytuację, zaznaczając poprawnie wszystkie informacje z treści zadania: Krok 2. Obliczenie długości promienia podstawy. Przeciwprostokątna trójkąta jest jednocześnie średnicą naszego okręgu znajdującego się w podstawie, zatem promień tego okręgu będzie równy: $$r=12:2=6$$ Krok 3. Obliczenie długości tworzącej stożka. Skoro jest tutaj trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa: $$l^2+l^2=12^2 \           ,\ 2l^2=144 \           ,\ l^2=72 \           ,\ l=\sqrt{72} \quad\lor\quad l=-\sqrt{72}$$ Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(l=\sqrt{72}\) i możemy jeszcze ten zapis nieco uprościć wyłączając czynnik przed znak pierwiastka: $$l=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$ Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej. Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy przejść do obliczenia pola powierzchni całkowitej: $$P_{c}=P_{p}+P_{b} \           ,\ P_{c}=πr^2+πrl \           ,\ P_{c}=πr^2+πrl \           ,\ P_{c}=π\cdot6^2+π\cdot6\cdot6\sqrt{2} \           ,\ P_{c}=36π+36\sqrt{2} \           ,\ P_{c}=36π(1+\sqrt{2})$$

Teoria:      
W trakcie opracowania