Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(45°\). Na bokach \(AB\) i \(BC\) zaznaczono punkty \(D\) i \(E\), przez które poprowadzono prostą równoległą do boku \(AC\). Prosta \(DE\) tworzy z bokiem \(AB\) kąt o mierze \(140°\) (jak na rysunku).





Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Kąt \(BAC\) ma miarę \(45°\).
Kąty trójkąta \(DBE\) i kąty trójkąta \(ABC\) mają równe miary.

Kąt \(BAC\) ma miarę \(45°\).

Odpowiedź:      

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Z własności kątów wiemy, że kąt \(BAC\) oraz \(BDE\) będą miały jednakową miarę (są to kąty odpowiadające). Miarę kąta \(BDE\) możemy wyznaczyć w dość prosty sposób, bowiem tworzy on z kątem \(140°\) parę kątów przyległych. Wiedząc, że kąty przyległe mają miarę \(180°\) możemy zapisać, że: $$|\sphericalangle BDE|=180°-140°=40°$$ Jak już ustaliliśmy, kąt \(BAC\) ma taką samą miarę co \(BDE\), zatem \(|\sphericalangle BAC|=40°\). Zdanie jest więc fałszem. Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Wiemy już, że kąty \(BDE\) oraz \(BAC\) mają jednakową miarę (i wiemy nawet, że jest to dokładnie \(40°\)). Wiemy też z samego rysunku, że trójkąty \(ABC\) oraz \(DBE\) mają jednakowy kąt przy wierzchołku \(B\). Wniosek z tego płynie taki, że już w tym momencie mamy pewność, że ten duży i mały trójkąt mają jednakowe miary dwóch kątów, zatem i miara trzeciego kąta musi być jednakowa (nie ma innej możliwości, bo każdy trójkąt ma taką samą sumę wszystkich kątów). Zdanie jest więc prawdą. Gdyby ktoś nie był jeszcze o tym przekonany, to zawsze można obliczyć miarę kąta przy wierzchołku \(B\). Z poprzedniego kroku wiemy, że zarówno kąty \(BDE\) jak i \(BAC\) mają miarę \(40°\), zatem patrząc się na trójkąt \(ABC\) możemy stwierdzić, że: $$|\sphericalangle ABC|=180°-45°-40°=95°$$ Teraz patrzymy się na trójkąt \(DBE\). Wiemy już, że kąt przy wierzchołku \(D\) ma miarę \(40°\), kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(95°\), zatem kąt przy wierzchołku \(E\) będzie miał miarę: $$|\sphericalangle DEB|=180°-40°-95°=45°$$ W tym momencie widzimy wyraźnie, że obydwa te trójkąty mają miary kątów \(40°, 45°, 95°\). Tak na marginesie to zwróć uwagę na to, że rysunek szkicowy podany w treści zadania był sporą zmyłką, bo z rysunku nie wynika to, że kąt przy wierzchołku \(B\) jest rozwarty.

Teoria:      
W trakcie opracowania