W urnie jest o \(10\) kul białych więcej niż czarnych. Z urny losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{3}{4}\). Ile wszystkich kul jest w urnie?

A \(15\)
B \(20\)
C \(30\)
D \(40\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania. Z treści zadania wynika, że: \(x\) - liczba kul czarnych \(x+10\) - liczba kul białych To z kolei oznacza, że wszystkich kul będziemy mieć: $$x+x+10=2x+10$$ Krok 2. Wyznaczenie liczby czarnych kul. Wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe \(\frac{3}{4}\). Jeżeli więc potraktujemy wylosowanie białej kuli jako zdarzenie sprzyjające \(|A|=x+10\), a liczbę wszystkich kul jako liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=2x+10\), to powstanie nam równanie: $$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|} \           ,\ \frac{3}{4}=\frac{x+10}{2x+10}$$ Mnożąc na krzyż otrzymamy: $$3\cdot(2x+10)=4\cdot(x+10) \           ,\ 6x+30=4x+40 \           ,\ 2x=10 \           ,\ x=5$$ To oznacza, że mamy \(5\) kul czarnych. Krok 3. Obliczenie ilości wszystkich kul. Skoro kul białych jest \(10\) więcej, to białych kul będziemy mieć \(5+10=15\). Naszym zadaniem jest powiedzenie ile jest wszystkich kul w urnie, a tych będzie łącznie: $$5+15=20$$ Ewentualnie skoro \(x=5\), a wszystkich kul jest \(2x+10\), to: $$2\cdot5+10=10+10=20$$

Teoria:      
W trakcie opracowania