W ostrosłupie prostym podstawą jest romb o przekątnych \(10cm\) i \(24cm\). Wysokość ostrosłupa jest dwa razy dłuższa niż bok rombu. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź:      

\(V=1040cm^3\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości boku rombu. Z własności rombów wiemy, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym w połowie swojej długości. To oznacza, że otrzymamy następującą sytuację: Powstały nam na rysunku trójkąty prostokątne z których możemy obliczyć długość boku rombu. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$5^2+12^2=x^2 \           ,\ 25+144=x^2 \           ,\ x^2=169 \           ,\ x=13 \quad\lor\quad x=-13$$ Bok rombu jest na pewno liczbą dodatnią, zatem zostaje nam \(x=13\). Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa. Z treści zadania wynika, że ostrosłup ma wysokość dwa razy dłuższą od boku rombu. Skoro więc bok rombu miał długość \(13cm\), to wysokość będzie równa: $$H=2\cdot13cm \           ,\ H=26cm$$ Krok 3. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa. Znamy długości przekątnych rombu, zatem możemy bez przeszkód obliczyć jego pole powierzchni, które jednocześnie będzie polem podstawy ostrosłupa: $$P_{p}=\frac{1}{2}ef \           ,\ P_{p}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot24 \           ,\ P_{p}=5\cdot24 \           ,\ P_{p}=120[cm^2]$$ Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa. Wiemy już, że \(P_{p}=120cm^2\) oraz że \(H=26cm\), zatem objętość ostrosłupa będzie równa: $$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot120cm^2\cdot26cm \           ,\ V=40cm^2\cdot26cm \           ,\ V=1040cm^3$$

Teoria:      
W trakcie opracowania