Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E,F,G,B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek).





Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe:

A \(a^2\)
B \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)
C \(\frac{3}{2}a^2\)
D \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy rozpisać długości krawędzi ostrosłupa \(EFGB\). Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to krawędzie \(BE\), \(BG\) oraz \(EG\) będą miały właśnie długość \(a\sqrt{2}\). Oprócz tego musimy dostrzec, że krawędzie \(BF\), \(EF\) oraz \(FG\) mają długość \(a\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco: To prowadzi nas do wniosku, że na pole powierzchni całkowitej składać się będzie podstawa, która jest trójkątem równobocznym o boku \(a\sqrt{2}\) oraz trzy ściany boczne, które są trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych długości \(a\). Krok 2. Obliczenie pola powierzchni podstawy. Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie zapiszemy jako $$P_{p}=\frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{a^2\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$ Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej. Pole powierzchni bocznej tworzą trzy trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(a\). Możemy więc zapisać, że: $$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}ah \           ,\ P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot a \           ,\ P_{b}=\frac{3}{2}\cdot a^2$$ Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej. Mając obliczone \(P_{p}\) oraz \(P_{b}\) możemy zapisać, że: $$P_{c}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\cdot a^2 \           ,\ P_{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a^2+\frac{3}{2}\cdot a^2 \           ,\ P_{c}=\frac{\sqrt{3}+3}{2}\cdot a^2 \           ,\ P_{c}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$$

Teoria:      
W trakcie opracowania