Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek).







Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(|AD|=12\), \(|BC|=6\), \(|BD|=|CD|=13\).

Odpowiedź:      

Objętość ostrosłupa jest równa \(48\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego. W zasadzie do obliczenia objętości brakuje nam tylko pola podstawy, bo wysokość bryły już znamy. Aby obliczyć to pole to potrzebna byłaby wysokość trójkąta, który znalazł się w podstawie. Wyliczymy ją bez problemu jeśli poznamy długości boków \(AB\) i \(AC\) i właśnie od tego rozpoczniemy obliczenia. Krok 2. Obliczenie długości boków \(AB\) i \(AC\). Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa. Aby obliczyć bok \(AB\) wystarczy wziąć do obliczeń duży trójkąt \(ABD\), którego miary dwóch boków są nam znane, a więc: $$a^2+b^2=c^2 \           ,\ |AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \           ,\ |AB|^2+12^2=13^2 \           ,\ |AB|^2+144=169 \           ,\ |AB|^2=25 \           ,\ |AB|=5 \quad\lor\quad |AB|=-5$$ (wartość ujemną odrzucamy, bo bok nie może mieć długości ujemnej) Długość boku \(AC\) wyliczymy dokładnie w ten sam sposób, tyle tylko że skorzystamy z trójkąta \(ACD\). Jego wymiary są identyczne co trójkąta \(ABD\) (są to więc trójkąty przystające), a więc i bok \(AC\) ma długość \(5\). Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\). W podstawie mamy trójkąt równoramienny, a więc jego wysokość podzieli nam bok \(BC\) na dwie równe części. Wysokość trójkąta wyliczymy więc używając ponownie Twierdzenia Pitagorasa. $$a^2+b^2=c^2 \           ,\ h^2+|CE|^2=|AC|^2 \           ,\ h^2+3^2=5^2 \           ,\ h^2+9=25 \           ,\ h^2=16 \           ,\ h=4 \quad\lor\quad h=-4$$ (wartość ujemną oczywiście odrzucamy) Krok 4. Obliczenie pola podstawy trójkąta znajdującego się w podstawie. $$P_{p}=\frac{1}{2}a\cdot h \           ,\ P_{p}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4 \           ,\ P_{p}=12$$ Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa. Znając już wszystkie potrzebne miary możemy bez problemu obliczyć objętość ostrosłupa: $$P_{p}=12 \           ,\ H=12 \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot12=48$$

Teoria:      
W trakcie opracowania