Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość \(10\sqrt{3}\), a każda jego krawędź boczna ma długość \(15\). Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Odpowiedź:      

\(H=5\sqrt{5}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Z treści zadania wynika, że w podstawie mamy trójkąt równoboczny, a ostrosłup wygląda mniej więcej w ten oto sposób: Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie. Skoro w podstawie mamy trójkąt równoboczny, to jego wysokość obliczymy korzystając ze wzoru: $$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Podstawiając do tego wzoru \(a=10\sqrt{3}\), otrzymamy: $$h_{p}=\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} \           ,\ h_{p}=\frac{10\cdot3}{2} \           ,\ h_{p}=\frac{30}{2} \           ,\ h_{p}=15$$ Tym samym odcinek o długości \(\frac{2}{3}h_{p}\) będzie miał długość \(\frac{2}{3}\cdot15=10\). Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa. Spójrzmy na nasz kluczowy trójkąt prostokątny, który tworzą odcinek o długości \(\frac{2}{3}h\), wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna. Znamy dwie długości boków tego trójkąta, zatem możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa: $$10^2+H^2=15^2 \           ,\ 100+H^2=225 \           ,\ H^2=125 \           ,\ H=\sqrt{125} \quad\lor\quad H=-\sqrt{125}$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ wysokość ostrosłupa musi być dodatnia. Stąd też zostaje nam jedynie \(H=\sqrt{125}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(H=\sqrt{25\cdot5}=5\sqrt{5}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania