W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe \(100\), a pole ściany bocznej jest równe \(65\). Oblicz objętość ostrosłupa.

Odpowiedź:      

\(V=400\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny to znaczy, że w jego podstawie znajduje się kwadrat. Wiemy, że kwadrat ten ma pole powierzchni równe \(100\), zatem: $$P=a^2 \           ,\ 100=a^2 \           ,\ a=10 \quad\lor\quad a=-10$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy i zostaje nam, że krawędź boczna ma długość \(a=10\). Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej. W ścianie bocznej o polu powierzchni \(P_{b}=65\) mamy trójkąt o podstawie \(a=10\). To oznacza, że możemy bez przeszkód obliczyć wysokość ściany bocznej. $$P_{b}=\frac{1}{2}ah \           ,\ 65=\frac{1}{2}\cdot10\cdot h \           ,\ 65=5h \           ,\ h=13$$ Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy teraz narysować ten ostrosłup i zaznaczyć w nim obliczone przed chwilą wielkości: Z rysunku wynika, że wysokość ostrosłupa (potrzebna do obliczenia objętości) będziemy mogli wyznaczyć z trójkąta prostokątnego, którego dolna przyprostokątna jest połową boku kwadratu (stąd też bierze się długość równa \(5\)), a przeciwprostokątna ma długość \(13\). Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa. Wysokość tego ostrosłupa najprościej będzie wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa: $$5^2+H^2=13^2 \           ,\ 25+H^2=169 \           ,\ H^2=144 \           ,\ H=12 \quad\lor\quad H=-12$$ Ujemną wartość odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem \(H=12\). Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa. Znając pole podstawy oraz wysokość ostrosłupa możemy bez przeszkód obliczyć objętość bryły: $$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot100\cdot12 \           ,\ V=400$$

Teoria:      
W trakcie opracowania