Jeśli wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają jednakowe długości, to ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \(α\), że:

A \(sinα=\frac{1}{2}\)
B \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
C \(sinα=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
D \(sinα=\frac{2\sqrt{3}}{2}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Skoro wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają mieć jednakową długość, to powstanie nam taka oto bryła: Krok 2. Zapisanie zależności kluczowych odcinków. Spójrzmy teraz na nasz rysunek. Odcinek \(SE\) jest wysokością trójkąta równobocznego znajdującego się w ścianie bocznej. W związku z tym jego długość możemy zapisać jako: $$|SE|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Teraz spójrzmy na odcinek \(OE\) - jest to połowa długości krawędzi bocznej, zatem: $$|OE|=\frac{1}{2}a$$ Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\). Do wyznaczenia sinusa kąta \(α\) potrzebna nam będzie znajomość długości odcinka \(SO\), a tą wyznaczymy z Twierdzenia Pitagorasa: $$|OE|^2+|SO|^2=|SE|^2 \           ,\ \left(\frac{1}{2}a\right)^2+|SO|^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \           ,\ \frac{a^2}{4}+|SO|^2=\frac{3a^2}{4} \           ,\ |SO|^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4} \           ,\ |SO|^2=\frac{2a^2}{4} \           ,\ |SO|=\frac{a\sqrt{2}}{2} \quad\lor\quad |SO|=-\frac{a\sqrt{2}}{2}$$ Wartość ujemną oczywiście pomijamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości. Zostaje nam więc \(|SO|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Krok 4. Obliczenie wartości sinusa. Teraz zgodnie z definicją sinusa możemy zapisać, że: $$sinα=\frac{|SO|}{|SE|} \           ,\ sinα=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} \           ,\ sinα=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ sinα=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{a\sqrt{3}} \           ,\ sinα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \           ,\ sinα=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \           ,\ sinα=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania