Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest równa \(27\sqrt{3}\). Długość krawędzi \(AB\) podstawy ostrosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:      

\(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy ostrosłupa. Musimy sobie ustalić jaka to figura znajduje się w podstawie naszej bryły. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Podaną mamy też długość boku tego trójkąta i jest ona równa \(6\). Policzenie pola podstawy jest więc bardzo proste, bo skoro jest to trójkąt równoboczny to skorzystamy z następującego wzoru: $$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=9\sqrt{3}$$ Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa. Znamy pole powierzchni podstawy, znamy też objętość naszej bryły, więc policzymy wysokość ostrosłupa. Przyda nam się ona w późniejszych krokach do wyznaczenia długości ściany bocznej. $$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\ 27\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot H \           ,\ 27\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot H \           ,\ H=9$$ Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AD\) oraz \(|OD|\). Spójrzmy teraz na rysunek i na trójkąt \(ODS\). Długość odcinka \(SO\) obliczyliśmy przed chwilą. Musimy jeszcze obliczyć długość odcinka \(OD\) i wtedy z Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość ściany bocznej. Z własności trójkąta równobocznego wiemy, że odcinek \(OD\) jest równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta. Wysokość trójkąta, czyli bok \(|AD|\) jest równy: $$|AD|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ |AD|=\frac{6\sqrt{3}}{2} \           ,\ |AD|=3\sqrt{3}$$ Tak więc \(|OD|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3}=\sqrt{3}\). Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej. Teraz bez przeszkód możemy obliczyć wysokość trójkąta w ścianie bocznej: $$a^2+b^2=c^2 \           ,\ |SO|^2+|OD|^2=|SD|^2 \           ,\ 9^2+(\sqrt{3})^2=|SD|^2 \           ,\ 81+3=|SD|^2 \           ,\ |SD|=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot21}=2\sqrt{21}$$ Krok 5. Obliczenie pola powierzchni ściany bocznej. Obliczmy teraz pole pojedynczej ściany bocznej naszego ostrosłupa: $$P_{b}=\frac{1}{2}a\cdot h \           ,\ P_{b}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{21} \           ,\ P_{b}=6\sqrt{21}$$ Krok 6. Obliczenie pola całkowitego ostrosłupa. $$P_{c}=P_{p}+3\cdot P_{b} \           ,\ P_{c}=9\sqrt{3}+3\cdot6\sqrt{21} \           ,\ P_{c}=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}$$ Otrzymana postać jest chyba najlepszą możliwą do otrzymania. Alternatywnie moglibyśmy zapisać to jako \(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\) lub też obliczyć przybliżenie tej liczby jako \(\approx98,07\).

Teoria:      
W trakcie opracowania