W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym \(10\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60°\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź:      

\(V=\frac{20\sqrt{15}}{3}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Krok 2. Obliczenie zależności między krawędzią podstawy i wysokością trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej. Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OES\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej z cosinusa) możemy zapisać, że: $$cos60°=\frac{\frac{1}{2}a}{h} \           ,\ \frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}a}{h} \quad\bigg/\cdot h \           ,\ \frac{1}{2}h=\frac{1}{2}a \           ,\ h=a$$ To oznacza, że wysokość trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej jest równa długości krawędzi podstawy. Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy i wysokości ściany bocznej. Korzystając z informacji, że pole ściany bocznej jest równe \(10\) możemy zapisać, że: $$P=\frac{1}{2}ah \           ,\ 10=\frac{1}{2}a\cdot a \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ a^2=20 \           ,\ a=\sqrt{20} \quad\lor\quad a=-\sqrt{20}$$ Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{20}\). Tym samym zgodnie z tym co zapisaliśmy w poprzednim kroku, także \(h=\sqrt{20}\). Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa. Spójrzmy ponownie na trójkąt \(OES\). Tutaj także skorzystamy z funkcji trygonometrycznych (tym razem z sinusa). Skoro odcinek \(SE\) (czyli wysokość ściany bocznej oznaczonej jako \(h\)) ma długość \(h=\sqrt{20}\), to: $$sinα=\frac{H}{h} \           ,\ sin60°=\frac{H}{\sqrt{20}} \           ,\ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{H}{\sqrt{20}} \quad\bigg/\cdot\sqrt{20} \           ,\ H=\frac{\sqrt{60}}{2} \           ,\ H=\frac{\sqrt{4\cdot15}}{2} \           ,\ H=\frac{2\sqrt{15}}{2} \           ,\ H=\sqrt{15}$$ Krok 5. Obliczenie objętości bryły. Znając długość krawędzi podstawy oraz wysokość ostrosłupa możemy przejść do obliczenia objętości: $$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot(\sqrt{20})^2\cdot\sqrt{15} \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot20\cdot\sqrt{15} \           ,\ V=\frac{20\sqrt{15}}{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania