Każda krawędź ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(9\) (ostrosłup taki jest nazywany czworościanem foremnym). Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

A \(3\sqrt{6}\)
B \(3\sqrt{3}\)
C \(2\sqrt{6}\)
D \(3\sqrt{2}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\). Odcinek \(BD\) jest wysokością trójkąta równobocznego o boku \(a=9\), zatem: $$|BD|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ |BD|=\frac{9\sqrt{3}}{2}$$ Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BO\). Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego dzieli nam odcinek \(BD\) na dwa części z których odcinek \(BO=\frac{2}{3}BD\) oraz \(DO=\frac{1}{3}BD\) (wynika to wprost z własności trójkątów równobocznych). Nas interesuje długość odcinka \(BO\), zatem: $$|BO|=\frac{2}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{2} \           ,\ |BO|=\frac{18\sqrt{3}}{6} \           ,\ |BO|=3\sqrt{3}$$ Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(OS\). Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(OBS\) możemy obliczyć wysokość bryły, czyli długość odcinka \(OS\): $$|OB|^2+|OS|^2=|SB|^2 \           ,\ (3\sqrt{3})^2+|OS|^2=9^2 \           ,\ 9\cdot3+|OS|^2=81 \           ,\ 27+|OS|^2=81 \           ,\ |OS|^2=54 \           ,\ |OS|=\sqrt{54} \quad\lor\quad |OS|=-\sqrt{54}$$ Wartość ujemną odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam: $$|OS|=\sqrt{54}=\sqrt{9\cdot6}=3\sqrt{6}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania