Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy \(6\). Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(60°\). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej bryły.

Odpowiedź:      

\(V=648\) oraz \(P_{b}=216\sqrt{3}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Nanieśmy na rysunek informacje z treści zadania. Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie. Z własności okręgów wpisanych w trójkąt równoboczny wiemy, że długość promienia okręgu jest równa \(\frac{1}{3}\) wysokości takiego trójkąta, zatem: $$h_{p}=3\cdot6=18$$ Krok 3. Obliczenie długości boku trójkąta znajdującego się w podstawie. W podstawie znajduje się trójkąt równoboczny o wysokości \(h_{p}=18\), zatem jego długość boku będzie równa: $$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ 18=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ 36=a\sqrt{3} \           ,\ a=\frac{36}{\sqrt{3}} \           ,\ a=\frac{36\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \           ,\ a=\frac{36\sqrt{3}}{3} \           ,\ a=12\sqrt{3}$$ Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa. Spójrzmy na trójkąt \(SOD\). Wiemy, że podstawa tego trójkąta (czyli odcinek \(DO\) będący promieniem okręgu) ma długość \(r=6\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretnie z tangensa) możemy zapisać, że: $$tg60°=\frac{H}{|DO|} \           ,\ \sqrt{3}=\frac{H}{6} \           ,\ H=6\sqrt{3}$$ Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej. Ponownie spoglądamy na trójkąt \(SOD\). Do obliczenia pola powierzchni bocznej potrzebujemy znać długość wysokości ściany bocznej, a tę możemy obliczyć albo z Twierdzenia Pitagorasa (bo wiemy już, że przyprostokątne mają długości \(|DO|=6\) oraz \(H=6\sqrt{3}\)), albo po prostu z cosinusa: $$cos60°=\frac{|DO|}{h_{b}} \           ,\ \frac{1}{2}=\frac{6}{h_{b}} \           ,\ \frac{1}{2}h_{b}=6 \           ,\ h_{b}=12$$ Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa. Mamy już komplet informacji na temat naszego ostrosłupa, bo wiemy że \(a=12\sqrt{3}\) oraz \(H=6\sqrt{3}\), więc możemy przystąpić do obliczenia objętości, korzystając ze wzoru: $$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{(12\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}\cdot6\sqrt{3} \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{432\sqrt{3}}{4}\cdot6\sqrt{3} \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot108\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \           ,\ V=36\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \           ,\ V=216\cdot3 \           ,\ V=648$$ Krok 7. Obliczenie pola powierzchni bocznej. W powierzchni bocznej mamy trzy trójkąty o podstawie \(a=12\sqrt{3}\) oraz wysokości \(h_{b}=12\), zatem: $$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{b} \           ,\ P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{3}\cdot12 \           ,\ P_{b}=3\cdot6\sqrt{3}\cdot12 \           ,\ P_{b}=216\sqrt{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania