Siatka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego składa się z kwadratu i czterech trójkątów (rysunek obok). Pole każdej z wymienionych figur jest równe \(4\). Długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa jest równa:

A \(\sqrt{5}\)
B \(2\sqrt{5}\)
C \(\sqrt{17}\)
D \(2\sqrt{17}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy. Ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie bryły znajduje się kwadrat. O tym kwadracie wiemy, że jego pole jest równe \(4\), zatem bok kwadratu (a tym samym długość krawędzi podstawy) będzie równa: $$P=a^2 \           ,\ a^2=4 \           ,\ a=2 \quad\lor\quad a=-2$$ Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=2\). Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej. Wiemy już, że krawędź podstawy jest równa \(2\), zatem trójkąty znajdujące się w ścianie bocznej mają także podstawę równą \(2\). Wiemy też, że pole każdego takiego trójkąta jest równe \(4\), zatem: $$P=\frac{1}{2}ah \           ,\ 4=\frac{1}{2}\cdot2\cdot h \           ,\ 4=1\cdot h \           ,\ h=4$$ Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Ostrosłup jest prawidłowy, zatem ściany boczne będą w tym przypadku trójkątami równoramiennymi. Wiedząc, że wysokość w takich trójkątach dzieli podstawę na dwie równe części, to powstała nam następująca sytuacja: Krok 4. Obliczenie długości krawędzi bocznej. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$1^2+4^2=x^2 \           ,\ 1+16=x^2 \           ,\ x^2=17 \           ,\ x=\sqrt{17} \quad\lor\quad x=-\sqrt{17}$$ Ujemną wartość odrzucamy, bo długość krawędzi nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(x=\sqrt{17}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania