W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź:      

\(V=\frac{\sqrt{209}}{12}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Krok 2. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej. Wiemy, że wszystkie ściany boczne mają łączną powierzchnię równą \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Skoro są trzy takie ściany, to każda z nich ma pole powierzchni równe: $$P_{śb}=\frac{15\sqrt{3}}{4}:3=\frac{5\sqrt{3}}{4}$$ Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy \(a\). W podstawie ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny. To oznacza, że każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h=\frac{5\sqrt{3}}{4}\) (wysokość jest podana w treści zadania). Skoro tak, to z pola trójkąta możemy wyznaczyć długość krawędzi \(a\): $$P_{śb}=\frac{1}{2}a\cdot h \           ,\ \frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/:\frac{5\sqrt{3}}{4} \           ,\ 1=\frac{1}{2}a \           ,\ a=2$$ Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(DE\). Odcinek \(DE\) stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego (czyli odcinka \(DB\)) znajdującego się w podstawie. Ze wzorów na wysokość trójkąta równobocznego wiemy, że: $$|DB|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ |DB|=\frac{2\sqrt{3}}{2} \           ,\ |DB|=\sqrt{3}$$ Skoro odcinek \(DE\) ma stanowić \(\frac{1}{3}\) długości odcinka \(DB\), to: $$|DE|=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa. Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(DES\): $$|DE|^2+|SE|^2=|DS|^2 \           ,\ \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+|SE|^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2 \           ,\ \frac{3}{9}+|SE|^2=\frac{25\cdot3}{16} \           ,\ \frac{1}{3}+|SE|^2=\frac{75}{16} \           ,\ \frac{16}{48}+|SE|^2=\frac{225}{48} \           ,\ |SE|^2=\frac{225}{48}-\frac{16}{48} \           ,\ |SE|^2=\frac{209}{48} \           ,\ |SE|=\sqrt{\frac{209}{48}}=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{627}}{12}$$ Krok 6. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa. Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie obliczymy według wzoru: $$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\sqrt{3}$$ Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa. Skoro \(P_{p}=\sqrt{3}\) oraz \(H=\frac{\sqrt{627}}{12}\), to objętość ostrosłupa będzie równa: $$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{627}}{12} \           ,\ V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{12} \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot3}{12} \           ,\ V=\frac{\sqrt{209}}{12}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania