W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości \(2\sqrt{3}\) krawędź boczna tworzy z podstawą kąt \(45°\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź:      

\(V=18\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Wiemy, że ostrosłup jest prawidłowy trójkątny, czyli w podstawie będzie miał trójkąt równoboczny. Zróbmy więc prosty rysunek szkicowy i nanieśmy na niego dane z treści zadania: Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(PC\). Patrząc się na nasz szkicowy rysunek powinniśmy dostrzec, że trójkąt prostokątny \(PCS\) jest jednocześnie trójkątem równoramiennym. Wynika to wprost z własności trójkątów prostokątnych - kiedy jeden kąt ostry ma miarę \(45°\), to i drugi kąt ostry w tym trójkącie ma taką miarę. Z tego też względu długości przyprostokątnych w tym trójkącie są jednakowe, a skoro wysokość \(SP\) ma miarę \(2\sqrt{3}\), to i odcinek \(PC\) będzie miał miarę \(|PC|=2\sqrt{3}\). Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie. Odcinek \(PC\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie. W związku z tym: $$\frac{2}{3}h_{p}=2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot3 \           ,\ 2h_{p}=6\sqrt{3} \           ,\ h_{p}=3\sqrt{3}$$ Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy. Znając wysokość trójkąta równobocznego możemy bez problemu obliczyć długość boku trójkąta. Dokonamy tego korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego: $$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ 3\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ 6\sqrt{3}=a\sqrt{3} \           ,\ a=6$$ Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa. Wiedząc, że bok trójkąta równobocznego ma długość \(a=6\) możemy przejść do obliczenia pola podstawy: $$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=\frac{36\sqrt{3}}{4} \           ,\ P_{p}=9\sqrt{3}$$ Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa. Znamy pole podstawy, znamy też wysokość ostrosłupa, zatem: $$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} \           ,\ V=3\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} \           ,\ V=6\cdot3 \           ,\ V=18$$

Teoria:      
W trakcie opracowania