Dane są punkty \(A=(-2,5)\) oraz \(B=(4,-1)\). Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym \(ABC\) jest równy:

A \(\sqrt{6}\)
B \(2\sqrt{6}\)
C \(6\sqrt{3}\)
D \(3\sqrt{3}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\). Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\), stąd też możemy obliczyć długość boku \(AB\), korzystając ze wzoru: $$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-5)^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{(4+2)^2+(-1-5)^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{6^2+(-6)^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{36+36} \           ,\ |AB|=\sqrt{72} \           ,\ |AB|=\sqrt{36\cdot2} \           ,\ |AB|=6\sqrt{2}$$ Jest to trójkąt równoboczny, stąd też wiemy, że każdy bok tego trójkąta ma miarę \(a=6\sqrt{2}\). Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\). Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Obliczmy zatem tę wysokość: $$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ h=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} \           ,\ h=\frac{6\sqrt{6}}{2} \           ,\ h=3\sqrt{6}$$ Krok 3. Obliczenie długości promienia okręgu. Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej, promień okręgu opisanego na trójkącie stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości, czyli: $$R=\frac{2}{3}\cdot h \           ,\ R=\frac{2}{3}\cdot3\sqrt{6} \           ,\ R=2\sqrt{6}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania